Computing 3D Periodic Triangulations

This work is motivated by the need for software computing 3D periodic triangulations in numerous domains including astronomy, material engineering, biomedical computing, fluid dynamics etc. We design an algorithmic test to check whether a partition of the 3D flat torus actually forms a triangulation (which subsumes that it is a simplicial complex). We propose an incremental algorithm that computes the Delaunay triangulation of a set of points in the 3D flat torus without duplicating any point, whenever possible. As far as we know, this is the first algorithm of this kind whose output is provably correct. Proved algorithms found in the literature are in fact always computing with 27 copies of the input points, while our algorithmic test detects when such a duplication can be avoided, which is usually possible in practical situations. The algorithm was implemented and is going to be submitted to the Cgal Editorial Board†. A video of this work was presented at SoCG’08‡. Key-words: triangulation, periodic, flat torus, Delaunay This work was partially supported by the ANR (Agence Nationale de la Recherche) under the “Triangles” project of the Programme blanc (No BLAN07-2 194137) http://www-sop.inria.fr/geometrica/collaborations/triangles/. ∗ INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée [Email: {Manuel.Caroli,Monique.Teillaud}@sophia.inria.fr] † www.cgal.org ‡ http://www.computational-geometry.org/SoCG-videos/socg08video in ria -0 03 56 87 1, v er si on 3 2 Fe b 20 09 Calculer des triangulations périodiques en 3D Résumé : Ce travail est motivé par le besoin d’un logiciel pour calculer des triangulations périodiques 3D dans de nombreux domaines dont l’astronomie, l’ingénierie des matériaux, l’informatique bio-médicale, la dynamique des fluides, etc. Nous concevons un test algorithmique pour vérifier qu’une partition du tore plat 3D forme une triangulation (ce qui comprend la propriété d’être un complexe simplicial). Nous proposons un algorithme incrémental qui calcule la triangulation de Delaunay d’un ensemble de points dans le tore plat 3D, sans duplication de points si possible. C’est à notre connaissance le premier algorithme de ce genre pour lequel la correction du résultat soit prouvée. Les algorithmes prouvés que l’on trouve dans la littérature calculent avec 27 copies des points, alors que notre test détecte les cas où cette duplication peut être évitée, ce qui est en général possible dans les situations pratiques. L’algorithme a été programmé et sera soumis au comité éditorial de la bibliothèque Cgal§. Une video de ce travail a été présentée à SoCG’08¶. Mots-clés : triangulation, périodique, tore plat, Delaunay § www.cgal.org ¶ www.computational-geometry.org/SoCG-videos/socg08video in ria -0 03 56 87 1, v er si on 3 2 Fe b 20 09 3D Periodic Triangulations 3